TEMA 7 TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
TEMA 7
TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
1.
PROBABILIDAD
La teoría de la
probabilidad es la parte de las matemáticas que estudia los fenómenos
aleatorios estocásticos. Ejemplo de fenómeno aleatorio: Comprar la
lotería, ya que el número ganador va variando y no sabes cuál será.
Se contraponen a
los fenómenos determinísticos, que son resultados únicos y/o previsibles
de experimentos realizados bajo las mismas condiciones determinadas.
La probabilidad puede ser de dos tipos:
1.1. Objetiva. Hace referencia
a evidencias físicas. Tiene dos enfoques:
En este enfoque probabilístico es muy importante La regla de Laplace.
Esta nos permite calcular la probabilidad de un evento, siempre que todos los
casos posibles de este tengan la misma probabilidad de ocurrir.
Ejemplo: existen 10 tipos diferentes de anemia que una persona puede
padecer, de manera que la probabilidad de que una persona anémica tenga anemia
megaloblástica (un tipo de anemia) es del 10%.
B. Frecuencia
relativa o a posteriori: es el valor real del suceso.
Ejemplo: La anemia que padecen los pacientes va a depender de sus
genéticas, hábitos alimenticios, de la fisiología de sus organismos, etc. Cogiendo
una muestra de 1000 pacientes anémicos, se observa que el tipo de anemia y la
frecuencia relativa con la que la padecen es la siguiente:
-
LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS
Cuando no es
posible calcular la probabilidad mediante la regla de Laplace, lo haremos
mediante las frecuencias relativas, utilizando la ley de los grandes números.
Esta ley dice
que, a medida que vamos aumentando el número de repeticiones de nuestro
experimento, la frecuencia con la que saldrá un evento se acercará cada más al
valor probabilístico.
Ejemplo: Un
dado tiene 6 números, 3 pares y 3 impares. ¿Cuál es la probabilidad de que
salga un número par? A priori, esta probabilidad es del 50 %:
Sin embargo,
en los primeros 10 o 20 lanzamientos, la frecuencia con que nos sale un nº par
no será del 50% sino que de otro número 40% o 30%. Pero, a medida que hacemos
más y más lanzamientos, la frecuencia en que aparece un nº par se acercará
mucho al valor probabilístico, es decir, será muy cercana al 50%.
1.2. Subjetiva o personalística:
Hace referencia a sucesos basados en experiencias previas, opinión personal o
intuición del individuo.
Por lo tanto, se asigna un valor de probabilidad a los sucesos según la
creencia que se tiene de que el suceso pueda o no ocurrir.
Ej: ¿Cuál es la probabilidad de que los polos se derritan en 2030?
2. EVENTOS O SUCESOS
◦
Espacio
muestral: Es el conjunto de los sucesos elementales, es decir, de todos
los resultados posibles.
Ej:
Color de ojos de los niños de 1 año de edad de Sevilla: azules, verdes, grises, marrones claros, marrones oscuros o negros.
◦ Suceso o evento: Es un subconjunto de los resultados
posibles.
Ej: Niños de 1 año de edad de Sevilla con los ojos claros: azules, verdes, grises
o marrones claros.
-
TIPOS DE SUCESOS:
1.
Sucesos mutuamente excluyentes: son aquellos en los que solo es posible un resultado.
Ej: Que los niños de 1 año de edad de
Sevilla tengan los ojos claros u
oscuros. La probabilidad de que tengan los ojos claros o que los tengan oscuros
sería la probabilidad de AUB, que consiste en sumar los dos conjuntos:
2.
Sucesos NO
mutuamente excluyentes: son
aquellos que están formados por los resultados experimentales del evento
A o los del evento B.
Ej: El
evento A es ser una niña de 1 año de edad y el B es tener los ojos azules, de
manera que AUB sería la suma de
ser niña de 1 año de edad o la suma de tener los ojos azules. Además, habría
que descontar a los sujetos que tuvieran las dos características.
3. Sucesos independientes: Son aquellos en los que la ocurrencia de uno no
influye en la ocurrencia del otro, de manera que están formados por los
resultados experimentales del evento A junto con los del evento B.
Ej: El evento A es ser una niña
de 1 año de edad y el B es tener los ojos azules, de manera que A intersección B sería la
suma de ser niña de 1 año de edad y la suma de tener los ojos azules, es decir,
poseer las dos características.
3.
TEORÍA DE
LA PROBABILIDAD
3.1. Las
probabilidades de un suceso siempre oscilan entre 0 y 1. Posteriormente, suele
x 100 para obtenerlo en %.
3.2. La
probabilidad de que un suceso sea seguro es = 1, es decir, siempre va a salir
ese suceso.
3.3. La
probabilidad de un suceso imposible es = 0, es decir, nunca va a suceder ese
suceso.
3.4. La
probabilidad de un suceso contrario o del complemento es = 1 - la
probabilidad del suceso.
Fórmula:
Ejemplo para 3.2, 3.3
y 3.4:
3.5. La
probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un suceso A si ha
ocurrido un suceso B, siempre que B sea distinto de 0.
Fórmula:
Ejemplo: Seleccionamos un paciente al azar y le
preguntamos sobre la
probabilidad de que tenga por lo menos dos enfermedades, suponiendo que
fuese hipotenso. La probabilidad sería:
Esta probabilidad está
condicionada ya que, partiendo de que la persona sea hipotensa (B), buscamos
que tenga al menos dos enfermedades (A), de manera que A está condicionada por
B.
4.
TEOREMA DE
BAYES
Deriva
de la probabilidad condicional. Relaciona la probabilidad de A dado B con la probabilidad
de B dado A.
Por
ejemplo, sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene
gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener
gripe si se tiene un dolor de cabeza.
Ejemplo:
En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas, de
las que el 20% son menores de 24 meses. El 35% de las niños tiene menos de 24
meses.
Un
pediatra selecciona a un paciente al azar.
A. Determina
la probabilidad de que sea menor de 24 meses.
B. Si
el paciente resulta ser menor de 24 meses, determina la probabilidad de que sea
una niña.
5.
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD EN
VARIABLES DISCRETAS: BINOMUAL Y POISSON
5.1. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL:
◦
La distribución
binomial es un modelo matemático de distribución teórica de variables discretas,
es decir, aquellas en las que solo existen dos posibilidades y se da una u
otra. Por ejemplo: cara o cruz de una moneda, sano o enfermo, etc.
◦
El resultado
obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos
anteriormente.
◦
Hay que recordar que por definición el factorial
de un número 0 es igual a 1.
Ejemplo: Un evento tiene
55% de probabilidades de ocurrir cada vez que alguien entra en un hospital.
¿Cuál es la probabilidad de que dicho evento suceda en
2 de 5 personas ingresadas hoy?
5.2. DISTRIBUCIÓN DE POISSON
◦ También
se le llama la distribución de probabilidad de casos raros.
◦ Utilidad:
1.
Se utiliza en situaciones donde los sucesos son
impredecibles o aleatorios.
2.
Permite determinar la probabilidad de que ocurra un suceso
con resultado discreto.
3.
Es útil cuando la muestra (n) es grande y la
probabilidad de éxitos (p) pequeña.
Ejemplo: Una compañía telefónica recibe 4 llamadas por minutos.
NOS DA TIEMPO, DE MANERA QUE USAMOS LA DISTRIBUCIÓN DE POISSON.
¿Cuál es la probabilidad de recibir 2 llamadas en un
minuto?
La distribución
normal es un ejemplo importante referido a una variable aleatoria continua (la
variable puede tomar cualquier valor real).
Podemos usar la
distribución normal como una herramienta para calcular probabilidades.
La Campana de Gauss es una representación gráfica de
la distribución normal de un grupo de datos. Éstos se reparten en valores
bajos, medios y altos, creando un gráfico de forma acampanada y simétrica con
respecto a un determinado parámetro. Se conoce como curva o campana de Gauss o
distribución Normal.
-
TIPIFICACIÓN
DE VALORES EN UNA NORMAL
La tipificación de valores se puede realizar si trabajamos
con una variables continuas que:
◦ Sigue
una distribución normal (TLC)
◦ Y
tiene más de 100 unidades (LGN)
La tipificación nos permite conocer si otro valor
corresponde o no a esa distribución de
frecuencia.
Ejemplo:
1.
Estudiamos
la distribución de la altura en una población.
2.
Realizamos
una tabla de frecuencia
3.
Hacemos un
gráfico, donde en el eje x colocamos la altura y en el eje y el nº de personas
que ha medido esa altura.
Los
resultados se ajustan a una curva de distribución normal, que tiene una serie
de características. Por ejemplo:
1.
El valor
medio, 169, es la altura media de la población. Además, también se corresponde
con la moda, ya que es el valor que más se repite.
2.
Es una
curva simétrica respecto a la media (misma forma a la izquierda que a la
derecha). Por lo tanto la gente que mide más que la media es la misma que la
que mide menos que la media. Además, la altura se distribuye igual para la
gente que es más alta que la media como para las que miden menos.
Comentarios
Publicar un comentario